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奇函数f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,且在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0

(1)若xf(x)<0,求x取值范围（2）举出满足条件的一个具体的函数

2025-05-09 18:20:14

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回答1：

解：1、
设g(x)=xf(x)
因为f(x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数
所以g(x)=xf(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数
于是有g(x)=g(-x)=g(|x|)
又f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上也是单调递增函数
所以由xf(x)<0得
g(|x|)<0
又g(1)=1*f(1)=0
所以由g(|x|)<0得
g(|x|)即|x|<1
即-1所以x∈(-1，0）U（0，1）
2、
f(x)=x-(1/x)符合要求。