有关高等数学函数导数的一个问题

看到之前的回答都没有给出反例．
我想了很久，连上课都不专心了．
终于在课本的题目上找到了一个反例．
假如证明有什么问题，请与我联系

f(x)=x*x*sin(1/x)+x/2 当x≠0
f(x)=0 当x=0

这个函数在0点上的导数存在且等于1/2．（不能代入导函数求，要用定义证明，很简单的，假如有需要，我可以加上这个证明）

f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)+1/2

现在证明，对任意的a>0，f'(x)在(0,a)上不恒非负数．
事实上，取a=1/(2nPI),n充分大，（PI就是那个圆周率了，不会打）
在(0,a)上，可以取x=1/((2n+1)PI),
代入f'(x)中有f'(x)=3/2>0．
再取x=1/((2n+2)PI)，
代入f'(x)中有f'(x)=-1/2<0
由n的任意性，可以在任意小的区间(0,a)中，总有使f'(x)>0的点，也总有使f'(x)<0的点．
这说明，f(x)不可能在(0,a)为单调函数．自然不能为单调增函数．

我想出来了：
利用分段函数，比如这个：
f（x）=x（当x≤0）
=0（当x＞0）该函数连续；
求导以后得：
f'（x）=1（当x≤0）
=0（当x＞0）满足f'(0)>0
但是当a>0时，原函数f（x）并非增函数。
所以是错误的

此命题错误，我们证明保号性的时候是利用f(x)连续，f(0)>0,可证明在0的邻域内为正；
那么如果要证函数f(x)为单调增函数，则要求f'(0)>0,更重要的是f'(x)在0附近连续，也就是说，f(x)连续可导，题目只给出f(x)连续，没有说导函数连续，显然条件是不够的

一时间找不到反例子。。这种东西还是要找反例才有道理 不然证明也太难了。至于楼上的什么x=a,b时候f(x)=0什么的乱说一通。。只要你举个反例估计你举不出来。
把题目转换下 就是要找一个函数，他在实数上连续。它的导函数在0处不连续 （否则就可以证明原命题成立）而且这个间断点必须是跳跃或可去间断点，否则f'(0)不存在。且f(0+)<0

lz,偶怎么觉得这个题目是真命题啊。。你说他错，能举出反例么？

告诉你函数连续不能推出可导,更不能推出导数连续,既然导数不连续,那么就不能想当然地认定单调性了......

你去翻翻课本,上面找找处处连续但处处不可导的函数例子.