多项式f(x)图像与x轴相交次数就是方程f(x) = 0的实根个数.
一元n次多项式至多有n个实根, 这可以用数学归纳法证明.
n = 1时结论显然成立.
假设n = k时结论成立.
对n = k+1, 任取一元n次多项式f(x).
若f(x)无实根, 则结论成立;
若f(x)有实根a, 则存在k次多项式g(x)使f(x) = (x-a)g(x);
根据归纳假设, g(x)至多有k个实根, 从而f(x)至多有k+1个实根, 即n = k+1时结论成立.
由数学归纳法原理, 结论对任意正整数n成立.
以上证明实际上也适用于复根, 即一元n次多项式至多有n个复根.
而代数基本定理保证一元n次多项式在计重数的意义上恰有n个复根,
但不能在高中数学范围内证明.
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