最小平方反滤波

最小平方反滤波是地震勘探中用得最广的一种反滤波。

1.基本原理

最小平方反滤波是最小平方滤波（或称维纳滤波、最佳滤波）在反滤波领域中的应用。

最小平方滤波的基本思想在于设计一个滤波算子，用它把输入信号转换为与给定的期望输出信号在最小平方误差的意义下最佳接近的输出。

设输入信号为x（t），它与待求的滤波因子h（t）相褶积得到实际输出y（t），即y（t）＝x（t）*h（t）。由于种种原因，实际输出y（t）不可能与预先给定的期望输出

若设计一滤波器a（t），当输入信号x（t）是某个滤波器的输出，而其期望输出

2.基本方程

地震勘探反滤波“反”的是大地滤波。大地滤波器的脉冲响应是地震子波，它必为物理可实现的。将地震子波作为反滤波的输入，则期望输出应是δ脉冲。为了不失一般性，可以先假设期望输出是窄脉冲d（t）。另外，反滤波因子一般是无限长的，但用计算机运算时只能取有限项。假设待求的反滤波因子a（t）的起始时刻为-m₀，延续长度为（m＋1），即

a（t）＝（a（-m₀），a（-m₀＋1），a（-m₀＋2），…，a（-m₀＋m））

已知输入（地震子波）为

b（t）＝（b（0），b（1），b（2），…，b（n））

则实际输出为

地震波场与地震勘探

实际输出与期望输出的误差平方和为

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要使Q为最小，数学上就是求Q的极值问题，即求满足

地震波场与地震勘探

的滤波因子a（t）

地震波场与地震勘探

因为

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为地震子波的自相关函数，而

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为地震子波与期望输出的互相关函数，故（4-3-5）式可写为

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这是一个方程组，写成矩阵形式为

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式中利用了自相关函数的对称性。该方程中，系数矩阵为一种特殊的正定矩阵（托布里兹矩阵），它以主对角线为对称，也以次对角线为对称，主对角线及与主对角线平行的直线上的元素均相同。

方程（4-3-6）式或（4-3-7）式称为最小平方反滤波的基本方程、正规方程或法方程，可以用专门的莱文森递推法求解。

利用上述基本方程求出的滤波因子有时称为脉冲整形滤波因子，因为在应用中它可以将输入子波变换为任意形状的期望输出，相当于对子波进行整形。

不难发现方程（4-3-6）式的左边为褶积运算，因此方程可改写为

a（t）*r_bb（t）＝r_bd（t）

转换到频率域，有

A（ω）R_bb（ω）＝R_bd（ω）

即

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说明这种最佳脉冲整形滤波器也可以将输入子波的自相关函数变换为子波与给定期望输出的互相关函数。

若希望输出是δ脉冲，则互相关为

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基本方程（4-3-7）变为

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由方程（4-3-9）可以看出，只要事先知道大地滤波器的脉冲响应即地震子波b（t），求出其自相关函数r_bb （t），代入此方程求解即可得到反滤波因子a（t），用它与地震记录褶积可得到：

a（t）*x（t）＝a（t）*b（t）*R（t）≈R（t） （4-3-10）

即反滤波结果接近于理想地震记录（反射系数序列），因而大大提高了纵向分辨率。

值得指出的是，m₀ 的选取与地震子波b（t）的性质有很大关系。地震子波不外乎如图4-3-4所示的三种情况［ （a），（b），（c）］。

A.b（t）是最小相位子波，其Z变换B（Z）的零点必然全部在单位圆外，也即反滤波因子a（t）的Z变换A（Z）＝1/B（Z）的分母多项式的零点全在单位圆外，故a（t）是稳定的、物理可实现的。当t ＜ 0时a（t）的值全部为零，因此，取m₀＝0，方程（4-3-9）右边自由项只有第一项有值，即

图4-3-4 三种类型地震子波及相应的反滤波因子

（a） （b） （c）说明见正文

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B.b（t）是最大相位子波，其Z变换B（Z）的零点必然全部在单位圆内，也即反滤波因子a（t）的Z变换A（Z）＝1/B（Z）的分母多项式的零点全在单位圆内，故a（t）是稳定的、物理不可实现的。其主要部分在t的负向上，a（t）只有在-（m＋n）到-n时刻的值不为零，因此取m₀＝m＋n；又因为在t＞n时b（t）＝0，故有

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C.比较麻烦的是b（t）为混合相位子波时，a（t）是物理不可实现的，但其主要部分在何处要视具体子波形状而定，可以假设a（t）只有在-m₁ 到m₂ 时刻的值不为零，因此，有：

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3.子波未知情况下的基本方程

虽然有了上述基本方程，但问题仍没有解决，因为地震子波即大地滤波器的滤波因子往往事先并不知道，故仍然无法利用上述方程求解反滤波因子。

为了在未知子波的情况下求出反滤波因子，必须对地震子波及反射系数序列加上一定的限制或称假设条件，它们包括：

A.假设反射系数序列R （t）是随机的白噪序列，即其自相关为

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B.假设地震子波是最小相位的。

根据假设A，地震子波的自相关可以用地震记录的自相关代替，因为

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根据假设B，前面已经讨论，可知反滤波因子是稳定的、物理可实现的，基本方程变为（4-3-11）式。此时，令a′（t）＝a（t）/b（0），结合假设A，则基本方程变为

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这就是地震勘探中常用的未知子波情况下求取反滤波因子的基本方程，其系数矩阵中各元素可以直接由地震记录求得。求出的反滤波因子a′（t）仅与a（t）相差常数倍，不影响压缩子波、提高分辨率的反滤波作用。通常也称之为尖脉冲化反滤波。

4.解基本方程的预白噪化问题

直接求解上述基本方程效果往往不好，求得的反滤波因子收敛很慢，振荡激烈。究其原因，是因为地震子波的频谱中存在有零值或接近零的值，由（4-3-3）式可以看出，此时A（Z）趋于无穷大，当然不可能稳定。

为了解决反滤波因子收敛慢或不稳定的问题，可以将一小白噪加入到地震子波或输入道的频谱中，相当于在地震子波或输入道的零延迟自相关上加一个稳定的常数λ，也即在托布里兹矩阵的主对角线上用（1＋λ）r_bb（0）代替r_bb（0），或（1＋λ）r_gg（0）代替r_gg（0）。这种处理方法称为预白噪化。λ一般是一个很小的正数，叫做白噪系数，可根据记录中的噪声水平人为的调节。

预白噪化后，虽然可以使反滤波因子收敛得快，但反滤波的效果会受到影响，反滤波结果会在尖脉冲（极大压缩后的地震子波）后面跟上一个小的摆动，小摆动的出现降低了分辨率。λ取得越大，影响越大。