急！！！！！若a>0,求证: 根号{a^2+[1⼀(a^2)]}-根号2>=a+（1⼀a）-2

a^2+[1/(a^2）]+2=(a+1/a)²
a+1/a=t
a>0
t≥2
要证根号{a^2+[1/(a^2)]}-根号2>=a+（1/a）-2
只要证√（t²-2）＋2≥t＋√2
只要证（√（t²-2）＋2）²≥（t＋√2）
即t²-2＋4＋4√（t²-2）≥t²＋2＋2t√2
即证2√（t²-2）≥t√2
即证4（t²-2）≥2t²
即2t²－8≥0
即t≥2显然成立
所以原不等式成立

令x=√a+1/√a
则x^2=a+2+1/a
所以a+1/a-2=x^2-4
√a>0,1/√a>0
所以x>=2√[√a*1/√a]=2

a+1/a=x^2-2
两边平方
a^2+1/a^2+2=x^4-4x^2+4
所以a^2+1/a^2=x^2-4x^2+2
所以即证√(x^4-4x^2+2)-√2>=x^2-4

(x^2-4+√2)^2=x^4-2(4-√2)x^2+(4-√2)^2
x^4-4x^2+2-(x^2-4+√2)^2
=-4x^2+2(4-√2)x^2+2-(4-√2)^2
=(4-√2)x^2-16+8√2
x>=2
所以x^2>=4
所以(4-√2)x^2-16+8√2>=4(4-√2)-16+8√2=4√2>0
所以x^4-4x^2+2-(x^2-4+√2)^2>0
x^4-4x^2+2>(x^2-4+√2)^2
因为x^2>=4,所以x^2-4+√2>=√2>0

即x^4-4x^2+2>(x^2-4+√2)^2>0
所以√(x^4-4x^2+2)>x^2-4+√2
所以√(x^4-4x^2+2)-√2>x^2-4
所以√{a^2+[1/(a^2)]}-√2>=a+（1/a）-2

由基本算术平均数大于等于几何平均的不等式，知道，上面不等式两边都大于0
通过两边平方后，发现只要证明
8(a^2+1/a^2)<16(a+1/a-1)^2即可
此即 a^2+1/a^2－2a－2/a+6>0
即(a-1)^2+(1/a-1)^2+4>0
而这个不等式总是成立的