设函数f（x）=xe kx （k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）

2025-05-14 12:26:47

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回答1：

（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）e^kx ，f′（0）=1，f（0）=0，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；
（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）e^kx =0，得x=-

（k≠0），
若k＞0，则当x∈（-∞，-

）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-

，+∞，）时，f′（x）＞0，
函数f（x）单调递增，
若k＜0，则当x∈（-∞，-

）时，
f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-

，+∞，）时，
f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当-

≤-1，
即k≤1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
若k＜0，则当且仅当-

≥1，
即k≥-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，
综上可知，函数f（x）（-1，1）内单调递增时，
k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．