已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y-

2025-05-09 08:12:44

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回答1：

（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴当m＜5时，曲线C表示圆．…（2分）
（2）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圆心C（1，2），半径r＝

5?m

，…（3分）
∵圆心C（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离d＝

|3+8?6|

32+42

＝1…（4分）
又|MN|＝2

，
∴r2＝12+(

)2＝4，即5-m=4，解得m=1．…（5分）
（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，…（6分）
由

x2+y2?2x?4y+m＝0

x?y?1＝0

，
得2x²-8x+5+m=0，…（7分）
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3…（8分）
x1+x2＝4，x1x2＝

m+5

…（9分）
∴y1y