（Ⅰ）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=0，连结OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PBD于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵O，E分别为DB，PB的中点，∴OE∥PD，OE=
PD，1 2
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，CE⊥AO，
则Rt△AOE中，OE=
PD=1 2
AB=A0，
2
2
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
（Ⅲ）解：∵AC⊥平面PBD，∴△ABD为△ABD在平面PDB内的射影图形，
二面角A-PB-D的余弦值
∴cosθ=
=S△OBP S△ABP
＝
×1 2
×
2
2
2
×1×1 2
3
，
3
3
则二面角A-PB-D的正弦值sinθ=
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