如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）

（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，
把D、E的坐标代入得：

3＝b 0＝6k+b

，
解得：k=-

1

2

，b=3，
∴直线DE的解析式是：y=-

1

2

x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y=2代入y=-

1

2

x+3得：x=2，
∴M的坐标是（2，2）．

（2）把M（2，2）代入y=

k

x

得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=

4

x

，
∵B（4，2），
∴把x=4代入y=-

1

2

x+3得：y=1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y=

4

x

得：左边=4，右边=4，左边=右边，
即点N在反比例函数的图象上．

（3）把B（4，2）代入y=

k

x

得：k=8，
∵反比例函数y=

4

x

过M、N点，
∴若反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．

（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM=4-2=2，BN=2-1=1，
由勾股定理得：NM=

22+12

=

5

，
S_△MNB=

1

2

BM×BN=

1

2

MN×BL，
∴2×1=

5

×BL，
∴BL=

2 5

5

，
如图所示：

∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是

2 5

5

，代入y=

4

x

得：横坐标是2

5

，
∴OL=2

5

，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴

LN

BN

=

BL

MB

，
∴

LN

1

=

2 5 5

2

，
∴LN=

5

5

，
∴ON=OL+LN=2

5

+

5

5

=

11 5

5

，
∴N的坐标是（

11