13问答网 > 椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的倾斜角为30°直线交椭圆于A,B两点

椭圆x^2⼀a^2+y^2⼀b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的倾斜角为30°直线交椭圆于A,B两点

2025-05-09 02:18:05

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回答1：

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AB的倾斜角为30°及|AB|=8知 |y2-y1|=4
所以⊿ABF2的面积为S=(1/2)•2c•|y2-y1|=4c (1)
注：将⊿ABF2分成两个以F1F2为公共边的小三角形，它们的高分别是|y1|和|y2| ,由于y1,y2中有一个负的，所以总高为|y2-y1|。
另一方面，三角形ABF2的内切圆的面积为π，则内切圆的半径r=1
易知，⊿ABF2的周长为4a,
所以⊿ABF2的面积为S=(1/2)•4a•r=2a (2)
对比（1）（2），得4c=2a，e=1/2