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正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为（ ） A． 16(12-6
正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为（ ） A． 16(12-6
2025-05-17 05:43:28
推荐回答（1个）
回答1：
如图所示：设正四面体的棱长等于a，球的半径等于r，作AH垂直于平面BCD，H为垂足．
则BH=
2
3
?BD
=
2
3
?
3
2
a
=
3
3
a，故AH=
AB
2
-
BH
2
=
a
2
-
(
3
a
3
)
2
=
6
3
a
．
再由AH=4，可得
6
3
a
=4，∴a=
12
6
．
Rt△BOH中，由勾股定理可得
r
2
=
(4-r)
2
+
(
3
3
a)
2
，解得r=3．
故球的表面积为4πr
2
=36π，
故选C．
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