已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC= 1 2 AB=1，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别

2025-05-08 06:55:16

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回答1：

（Ⅰ）证明：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，

），N（

，0，0），S（1，

，0），

=(1，-1，

)，

=(-

，-

，0) ，
∵

=(1，-1，

)?(-

，-

，0)=0 ，
∴CM⊥SN．
（Ⅱ）设

=(0，0，1) 为平面CBA的法向量，

=(2，-1，0)，

=(0，1，-1) ，
设

=(x，y，z) 为平面PCB的一个法向量
则

2x-y=0

y-x=0

令x=1得

=(1，2，2，) ，
cos?＜

，

＞=

|m|

|n|

，
二面角P-CB-A的余弦值为

．
（Ⅲ）同理可得平面CMN的一个法向量

=(2，1，-2)
设直线SN与平面CMN所成角为θ，
∵ sinθ=|cos＜

，

＞|=

，
∴SN与平面CMN所成角为45°．