13问答网 > 已知函数 f(x)= 1-a+lnx x ，a∈R （1）求f（x）的极值；（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立

已知函数 f(x)= 1-a+lnx x ，a∈R （1）求f（x）的极值；（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立

2025-05-17 14:45:42

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回答1：

（1）∵ f / (x)=

a-lnx

x 2

，令f′（x）=0，∴x=e^a ------------------------------------------------（2分）
由下表：

x	（0，e^a ）	e^a	（e^a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

∴f（x）的极大值为 f( e a )=

1-a+a

e a

= e -a
故f（x）的最大值为e^-a ．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴ k＞

lnx

在（0，+∞）上恒成立∴ k＞[

lnx

] max -------------（6分）
由（1）：令a=1，则 f(x)=

lnx

，∴ [

lnx

] max =

∴ k＞

--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex， x∈[

e 2

，1] ------------------------------（10分）
则 g′(x)=

-e ，由g′（x）=0 得 x=

，
当 x∈[

e 2

，

)：g′(x)＞0 ，∴g（x）单调递增；当 x∈(

，1]：g′(x)＜0 ，∴g（x）单调递减．
且 g(

e 2

)=1+ln

e 2

-e?

e 2

=-1-

， g(

)=1+ln

-e?

=-1 ，g（1）=1-e∵ g(

e 2

)-g(1)=-2+e-

e 2 -2e-1

(e-1) 2 -2

＜0∴g(

e 2

)＜g(1)
由题意得： a∈[g(

e 2

)，g(1)]∪{g(

)}
即 a∈[-1-

，1-e)∪{-1} --------------------------------------------------------（13分）