13问答网 > 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD= 3 ，PD⊥底面ABCD（1）证明

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD= 3 ，PD⊥底面ABCD（1）证明

2025-05-09 09:16:46

推荐回答（1个）

回答1：

（1）证明：因为AB=2AD=2，BD=

，所以AD=BC=1，CD=AB=2，
∴CD² =BC² +BD² ，∴BC⊥BD，
∵底面ABCD为平行四边形，
∴AD⊥BD．
而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PBD…（5分）
（2）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD
所以∠PBD即为二面角P-BC-D的平面角，即∠PBD=

，
而BD=

，所以PD=1…（7分）
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，

，0），C（ -1，

，0 ），P（0，0，1）
所以

=(-1，0，1)，

=(-1，0，0)，

=(0，-

，1) ，设平面PBC的法向量

=(a，b，c) ，
则

，即

a=0

b+c=0

，可得平面的一个法向量为

=(0，1，

) ．
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为 sinθ=

．…（12分）