如图,四棱锥P—ABCD中,为边长为2的正三角形,底面ABCD为菱形,且平面PAB⊥平面ABCD,

2025-05-12 22:34:21
推荐回答(1个)
回答1:

解:(I)取AB的中点O,连接PO,OC

∵△PAB为边长为2的正三角形,

∴PO⊥AB

又∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB

∴PO⊥平面ABCD,

又∵PC⊥AB,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC

∴AB⊥平面POC

又∵OC⊂平面POC

∴AB⊥OC

以O为坐标原点,建立如图所示的空间坐标系,

则A(﹣1,0,0),C(0,,0),P(0,0,),D(﹣2,,0),B(1,0,0),

∵PD=3PE,

∴E(,,)

则=(2,0,0),=(,﹣,),

则||=,

则cos<,>===﹣,

即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.

(2)设平面PAC的法向量为=(x,y,z),

∵=(1,,0),=(0,﹣,),

∴由,即,

令z=1,则y=1,x=,

即=(,1,1),

平面ABCD的法向量为=(0,0,1),

则cos<,>===,

故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.